РОЗДІЛ 7. ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ ЗАГАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ.
§1. Ранг матриці.
1. Базисний мінор. Мінор порядку матриці називається базисним, якщо , а всі її мінори порядку дорівнюють нулеві.
Зрозуміло, що матриця може мати декілька базисних мінорів, але всі вони мають один і той самий порядок. Далі, всі мінори, порядок яких перевищує , також дорівнюють нулеві. Доведемо це твердження методом математичної індукції. Припустимо, що всі мінори порядку , , дорівнюють нулеві. Будь-який мінор порядку можна розкласти за елементами якого-небудь рядка. Алгебраїчні доповнення до елементів цього рядка з точністю до знака збігаються з мінорами порядку , які, за припущенням індукції, дорівнюють нулеві, отже, дорівнює нулеві і мінор – го порядку.
2. Теорема про базисний мінор. Будь-який стовпчик –матриці будемо розглядати як вектор –вимірного арифметичного простору, а будь-який її рядок – як вектор –вимірного арифметичного простору.
Теорема. Будь-який стовпчик матриці є лінійною комбінацією стовпчиків, які ввійшли в базисний мінор.
Доведення. Позначимо стовпчики –матриці через , тобто . Нехай базисний мінор матриці має порядок , , і нехай в базисний мінор увійшли стовпчики та рядки з номерами . Треба показати, що будь-який стовпчик , , можна подати як лінійну комбінацію стовпчиків , тобто , або, в координатній формі,
.
Запишемо цю систему рівностей більш компактно:
. (1)
Складемо матрицю
і покажемо, що при всіх , , . Справді, якщо дорівнює одному зі значень , то як такий, що має два однакових рядки. Нехай тепер не дорівнює жодному зі значень . Тоді з точністю до порядку запису рядків та стовпчиків збігається з одним з мінорів порядку матриці . Переставивши місцями, якщо це потрібно, рядки та стовпчики визначника , дістанемо мінор матриці порядку , який дорівнює нулеві за умовою. може відрізнятися від цього мінору хіба що знаком, а тому також дорівнює нулеві. Отже, при всіх , , .
Розкладемо за елементами останнього рядка:
Оскільки , то звідси
.
Отримані рівності збігаються з шуканим розкладом (1) при . Теорему доведено.
Наслідок. Кожен рядок матриці є лінійною комбінацією рядків, які ввійшли в базисний мінор.
Для доведення цього наслідку досить застосувати теорему про базисний мінор до транспонованої матриці.
3. Теорема (обернена до властивості 8º визначників). Якщо для квадратної матриці , то принаймні один рядок цієї матриці є лінійною комбінацією решти її рядків.
Доведення. Якщо для квадратної матриці –го порядку , то порядок базисного мінору цієї матриці не перевищує . Звідси, принаймні один рядок матриці не перетинає базисного мінору. За теоремою про базисний мінор цей рядок є лінійною комбінацією рядків, які ввійшли в базисний мінор, отже, є лінійною комбінацією всіх решти її рядків. Теорему доведено.
4. Ранг матриці. Порядок базисного мінору матриці називається рангом цієї матриці і позначається .
Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпчиків цієї матриці.
Доведення. Нехай і – її базисний мінор. Покажемо спочатку, що матриця має не менше, ніж лінійно незалежних стовпчиків. Позначимо через матрицю детермінант якої збігається з базисним мінором матриці , , так що кожний стовпчик матриці є підмножиною елементів відповідного стовпчика матриці . Якби стовпчики матриці , які ввійшли в базисний мінор, були лінійно залежними, то лінійно залежними були б і стовпчики матриці , а тому, за властивістю 8º визначників, . За умовою , тому матриця має не менше, ніж лінійно незалежних стовпчиків.
Покажемо тепер, що матриця має не більше, ніж лінійно незалежних стовпчиків, тобто покажемо, що будь-які стовпчиків, , лінійно залежні. Для цього складемо матрицю з цих стовпчиків. Кожен мінор матриці є одночасно мінором матриці , тому , тобто . Це означає, що принаймні один стовпчик матриці не входить в базисний мінор цієї мат...
